<template>
  <div id="app">
    <latex-renderer :content="latexContent"></latex-renderer>
  </div>
</template>

<script>
import LatexRenderer from './components/LatexRenderer.vue'

export default {
  name: 'App',
  components: {
    LatexRenderer
  },
  data() {
    return {
      latexContent: '设$X_1,X_2,\\cdots,X_{n}$独立同分布, 具有概率密度函数<br />$f(x|\\theta)=\\theta x^{\\theta-1},$$x\\in (0,1),$<br />其中$0<\\theta<\\infty.$<br />(1) (5分) 求$\\theta$的$MLE$,求其无偏性.<br />(2) (5分)$\\theta$的$MLE$是否具有相合性？<br />(3) (5分) 用样本均值估计总体均值的方式估计$\\theta$.<br />(4) (5分) 用样本中位数估计总体总体中位数的方式估计$\\theta$.\n' +
          '\n' +
          '\n' +
          '[解析]<br />(1)$\\hat{\\theta}_{MLE} = -\\frac{n}{\\sum \\ln(X_i)},$计算其数学期望<br />$\\begin{aligned}\n' +
          'E\\left(-\\frac{n}{\\sum \\ln(X_i)}\\right) &= n \\int_0^\\infty \\frac1t \\frac{\\theta^n}{\\Gamma(n)} t^{n-1} e^{-\\theta t} dt \\\\\n' +
          '&\\overset{u=\\theta t}{=}\\frac{n\\theta^n}{\\Gamma(n)} \\int_0^\\infty \\frac{u^{n-2}}{\\theta^{n-1}}  e^{-u} du\\\\\n' +
          '&=\\frac{n\\theta}{\\Gamma(n)}\\Gamma(n-1)\\\\\n' +
          '&=\\frac{n\\theta}{n-1} \\neq \\theta,\n' +
          '\\end{aligned}$<br />$\\implies  \\hat{\\theta}_{MLE}$不是无偏估计.<br />(2) 计算$\\hat{\\theta}_{MLE}$的方差<br />$\\begin{aligned}\n' +
          'D( \\hat{\\theta}_{MLE}) &= n^2 E\\left(-\\frac{1}{\\sum \\ln(X_i)} - \\frac{n\\theta}{n-1}\\right)^2\\\\\n' +
          '&= \\left[\\frac{n^2}{(n-1)(n-2)}-\\frac{n^2}{(n-1)^2}\\right] \\theta^2 \\\\\n' +
          '&\\to 0\n' +
          '\\end{aligned}$<br />又因为$\\lim_{n\\rightarrow \\infty}E(\\hat{\\theta}_{MLE}) = \\theta$$\\Longrightarrow \\hat{\\theta}_{MLE}$具有相合性（见茆书定理6.2.1）.<br />(3) $E(X) = \\int_0^1 \\theta x^{\\theta}dx = \\frac{\\theta}{1+\\theta} \\implies \\hat{\\theta}_{MOM} = \\frac{\\overline{X}}{1-\\overline{X}}$.<br />(4) $\\int_0 ^ {x_{0.5}} \\theta x^{\\theta -1}dx =\\frac{1}{2} \\Longrightarrow \\theta = -\\frac{\\ln2}{\\ln(x_{0.5})} ,$$\\hat{\\theta } = -\\frac{\\ln2}{\\ln(m)} ,$其中$m$为样本中位数.\n'
    }
  }
}
</script>

<style>
/* 你可以根据需要添加其他样式 */
</style>
